中学校の三角形の合同を利用する問題です。意外に気が付きにくいので紹介します。
【問題１】
1辺が１２ｃｍの正方形ABCDがあります。今、下図のように、頂点Aから辺BC上の点Eに線分を引きます。ただし、頂点B、Cを除きます。
次に、頂点Aから辺CD上の点Fに、∠EAF＝４５°となるように線分を引きます。
このとき、線分EFの長さを計ると１０ｃｍとなりました。 △AEFの面積を求めなさい。
【解答】
△AFDを辺ADが辺ABと一致するように重ねます。ただし、点Fは、点Bに対して、点Eの反対側にくるようにします。その時、点Fに当たる点を点Gとします。
頂点Aから辺EF上に∠EAB=∠EAGとなるように線分AGを引きます。
△AGEと△AFEについて考えると、
AE共通、∠EAG=∠EAF、AG＝AF
なので、△AGE≡△AFEとなります。したがって、
∠AEG＝∠AEF … ①
となります。
ここで頂点Aから辺EFに垂線を引き、その足を点Hとします。
△ABEと△AHEについて考えると、①より、
∠AEG＝∠AEF 、AE共通、∠ABE=∠AHE＝90°
なので、△ABE≡△AHEとなります。
したがって、AB=AHとなります。
以上より、△AEFは、底辺10㎝、高さ12㎝の三角形となるので、
10×12÷２＝60 答．60㎝2
